Расчёт балки на прогиб и прочность

СТРОИТЕЛЬСТВО · БАЛКА НА ПРОГИБ

Прикидочный расчёт деревянной балки или стального двутавра для перекрытия: изгибающий момент, напряжение и прогиб по пролёту, шагу балок и нагрузке — с проверкой по СП 64.13330.2017 (дерево), СП 16.13330.2017 (сталь) и предельному прогибу СП 20.13330.2016. Если сечение не проходит — предложит следующее. Не заменяет проектный расчёт для ответственных конструкций.

01

Сечение и пролёт

02

Нагрузка

1 кПа = 1 кН/м² ≈ 100 кг на квадратный метр.

03

Древесина

Породанеобязательно
От какой нагрузки считать прогибнеобязательно

ПРОЗРАЧНЫЙ РАСЧЁТ

Как проверить балку на прогиб и прочность

  1. Соберите нагрузку на балку. q_n = (g_n + p_n) × шаг — нормативная, q = (g_n × γf,g + p_n × γf,p) × шаг — расчётная (γf,g = 1,1 для слоёв перекрытия, 1,05 — для веса стального двутавра, γf,p = 1,3 при p_n < 2 кПа и 1,2 при p_n ≥ 2 кПа — СП 20.13330.2016). Для прогиба берётся длительная часть: q_n,дл = (g_n + 0,35 × p_n) × шаг (п. 8.2.3).
  2. Проверьте прочность. Момент M = qL²/8. Напряжение σ = M/W ≤ R, где для дерева R = R_A × m_дл × m_в (СП 64.13330.2017; R_A — по табл. 3 с учётом размеров сечения: поз. 1а для досок, 1б и 1в для бруса шириной от 11 см; m_дл = 0,66 для перекрытий и кровель под снегом — без этого коэффициента расчёт завышает прочность в полтора раза), для стали R = R_y × γc (СП 16.13330.2017).
  3. Проверьте жёсткость. Прогиб f = 5·q_n,дл·L⁴ / (384·E·I) не должен превышать предельный f_u из СП 20.13330.2016 табл. Д.1: L/120 при пролёте 1 м, L/150 при 3 м, L/200 при 6 м, L/250 при 12 м, L/300 при 24 м, между узлами — линейная интерполяция. Для дерева используется расчётный модуль E_II = E_ср × m_дл,E × m_в, который меньше среднего модуля упругости.
  4. Если сечение не проходит — увеличьте высоту (для дерева) или номер двутавра (для стали): жёсткость обычно лимитирует раньше прочности на больших пролётах.

Пример расчёта по шагам

  1. Нормативная нагрузка на метр балки. (вес перекрытия 0,5 + люди 1,5) × шаг 0,6 = 1,2 кН/м (≈ 120 кг на метр).
  2. Расчётная нагрузка — с коэффициентами надёжности: (0,5 × 1,1 + 1,5 × 1,3) × 0,6 = 1,5 кН/м.
  3. Момент посередине пролёта. M = 1,5 × 4² / 8 = 3,00 кН·м.
  4. Прочность. Момент сопротивления доски 50×200: W = 50 × 200² / 6 = 333 333 мм³ → напряжение σ = 3,00·10⁶ / 333 333 = 9,0 МПа. Допускаемое для 2-го сорта в сухом доме (табл. 3 СП 64, поз. 1а): R = 19,5 × 0,66 × 1 = 12,87 МПа → прочность обеспечена, запас 30 %.
  5. Нагрузка для прогиба — постоянные и длительные: (0,5 + 0,35 × 1,5) × 0,6 = 0,615 кН/м.
  6. Жёсткость доски. I = 50 × 200³ / 12 = 33,3·10⁶ мм⁴; модуль упругости с поправками E = 10 000 × 0,9 × 1 = 9 000 МПа.
  7. Прогиб. f = 5 × 0,615 × 4 000⁴ / (384 × 9 000 × 33,3·10⁶) = 6,8 мм.
  8. Предел. Для пролёта 4 м по СП 20 — L/167 = 24,0 мм → жёсткость обеспечена, запас 72 %. От полной нагрузки прогиб был бы 13,3 мм — тоже в пределе.
Что означают буквы в формулах
L
пролёт — расстояние между опорами, м (поле «Пролёт балки»)
a
шаг балок — между осями соседних, м; с полосы такой ширины нагрузка собирается на одну балку (поле «Шаг балок»)
b
ширина сечения — узкая сторона доски или бруса, мм (поле «Ширина сечения b»)
h
высота сечения — большая сторона, стоящая на ребро, мм; прогиб зависит от неё в кубе (поле «Высота сечения h»)
gn
собственный вес перекрытия — настил, утеплитель, стяжка, подшивка, кПа (1 кПа ≈ 100 кг/м²); индекс n — нормативный, то есть реальный (поле «Собственный вес перекрытия»)
pn
полезная нагрузка — люди, мебель, вещи по норме, кПа (поле «Полезная нагрузка»; для кровли — снег)
γf,g
коэффициент надёжности по нагрузке для собственного веса: 1,1 для слоёв перекрытия, 1,05 для веса стального двутавра (СП 20 табл. 7.1)
γf,p
коэффициент надёжности для полезной нагрузки: 1,3 при pn меньше 2 кПа, 1,2 при 2 кПа и выше (СП 20 п. 8.2.7)
q
расчётная нагрузка на метр балки, кН/м — с коэффициентами надёжности; по ней проверяется прочность
qn
нормативная нагрузка на метр балки, кН/м — реальная, без коэффициентов: (gn + pn)·a
ψ
доля длительной части полезной нагрузки: 0,35 для жилья, офисов и залов; 1 для чердаков (СП 20 п. 8.2.3)
qn,дл
постоянные и длительные нагрузки на метр балки, кН/м: gn + ψ·pn — от них считается прогиб (СП 20 табл. Д.1); три разных числа с одной буквой q — расчётная, нормативная, длительная
M
изгибающий момент посередине пролёта, кН·м
Q
опорная реакция — сила на каждую опору, кН: Q = q·L/2 (в карточке результата)
W
момент сопротивления сечения, мм³ — отвечает за прочность; для двутавра — Wx из сортамента, см³
I
момент инерции сечения, мм⁴ — отвечает за прогиб; для двутавра — Ix из сортамента, см⁴
σ
напряжение в крайних волокнах балки, МПа
R
допускаемое напряжение: для дерева RA·mдл·mв (12,87 МПа для доски 2-го сорта в сухом доме), для стали Ry·γc (235 МПа для С245)
RA
табличное сопротивление древесины изгибу по сорту и размерам сечения, МПа (СП 64 табл. 3: поз. 1а — доски, 1б — ширина 11–13 см, 1в — шире 13 см); Ry — расчётное сопротивление стали по марке (СП 16 табл. В.3)
mдл
коэффициент длительной прочности дерева: 0,66 для перекрытий и кровель под снегом (СП 64 табл. 4)
mв
коэффициент условий эксплуатации по влажности: 1 в отапливаемом доме, 0,9 без отопления, 0,85 под навесом, 0,75 на улице (СП 64 табл. 9); mб — понижение для сечений выше 50 см (0,96…0,9, табл. 10)
γc
коэффициент условий работы стали: 1,0; для балок под залами и магазинами 0,9 (СП 16 табл. 1)
E
модуль упругости: для стали 206 000 МПа, для дерева — расчётный Eср·mдл,E·mв = 10 000 × 0,9 × 1 = 9 000 МПа в сухом доме (СП 64 прил. В.2)
f
прогиб посередине пролёта, мм
fu
предельный прогиб — доля пролёта по СП 20 табл. Д.1 (24,0 мм при 4 м, 30 мм при 6 м)
120…300
знаменатель предельного прогиба по СП 20 табл. Д.1: 120 при пролёте 1 м, 150 при 3 м, 200 при 6 м, 250 при 12 м, 300 при 24 м; между узлами — линейная интерполяция (для 4 м — 167)

СПРАВОЧНИК

Нагрузки, коэффициенты и сортамент

Расчётные сопротивления и коэффициенты — R = R_A · m_дл · Π m_i (СП 64 п. 6.1, ф. (1)). Прогиб проверяется по предельным значениям СП 20.13330.2016 «Нагрузки и воздействия», прил. Д табл. Д.1 поз. 2а (от постоянных и длительных нагрузок): L/120 при пролёте до 1 м, L/150 при 3 м, L/200 при 6 м, L/250 при 12 м, L/300 при 24 м (значения для помещений высотой до 6 м), между узлами — линейная интерполяция.

Нормативные нагрузки на перекрытия по назначению помещения, СП 20.13330.2016 «Нагрузки и воздействия» (с изм. 1, 2), табл. 8.3
Помещениеp_n, кПа
Квартиры, спальни, палаты, террасы1,5
Офисы, классы, бытовые помещения2
Кухни общественных зданий, лаборатории2
Читальные залы2
Обеденные залы (кафе, рестораны)3
Залы собраний, зрительные, спортивные4
Торговые, выставочные залы4
Чердачные помещения0,7
Балконы (лоджии), сплошная нагрузка2
Расчётное сопротивление изгибу вдоль волокон R_A по сорту и размерам сечения, СП 64.13330.2017 «Деревянные конструкции» (с изм. 1, 2) табл. 3: поз. 1а — прямоугольные сечения высотой до 50 см, 1б — ширина 11–13 см при высоте 11–50 см, 1в — ширина свыше 13 см при высоте 13–50 см; МПа
Сорт и позицияR_AR = R_A×m_дл×m_в (перекрытие, класс 1–2)
1-й, поз. 1а — доска, брус до 11 см2113,86
1-й, поз. 1б — брус шириной 11–13 см22,514,85
1-й, поз. 1в — брус шире 13 см2415,84
2-й, поз. 1а — доска, брус до 11 см19,512,87
2-й, поз. 1б — брус шириной 11–13 см2113,86
2-й, поз. 1в — брус шире 13 см22,514,85
3-й, поз. 1а — доска, брус до 11 см138,58
3-й, поз. 1б — брус шириной 11–13 см159,9
3-й, поз. 1в — брус шире 13 см16,510,89
Переходные коэффициенты пород к R_A вдоль волокон, СП 64.13330.2017 «Деревянные конструкции» (с изм. 1, 2) табл. 5
ПородаКоэффициент
Сосна, ель (базовые значения табл. 3)×1
Лиственница (кроме европейской)×1,2
Кедр сибирский (кроме Красноярского края)×0,9
Пихта×0,8
Дуб×1,3
Берёза, бук×1,1
Расчётное сопротивление по маркам стали для фасонного проката толщиной 20–30 мм (табл. В.3 даёт пары значений по толщине), СП 16.13330.2017 «Стальные конструкции» (с изм. 1, 2), МПа
МаркаR_y
С235225
С245235
С255235
С345330
С355340
Сортамент двутавров №10–30, ГОСТ 8239-89 «Двутавры стальные горячекатаные. Сортамент» (в РФ формально заменён с 30.11.2018 — геометрия профиля, который продают, от статуса документа не зависит)
№h, ммb, ммМасса, кг/мIx, см⁴Wx, см³
№10100559,4619839,7
№121206411,535058,4
№141407313,757281,7
№161608115,9873109
№181809018,41 290143
№20200100211 840184
№22220110242 550232
№2424011527,33 460289
№2727012531,55 010371
№3030013536,57 080472

Частые вопросы о расчёте балки на прогиб

Как проверить деревянную балку на прогиб?

Прогиб f = 5·q_n·L⁴/(384·E·I), где q_n — нагрузка на балку от постоянных и длительных воздействий (собственный вес плюс 0,35 полезной — СП 20 п. 8.2.3), E — расчётный модуль упругости древесины (не «сырой» табличный, а сниженный коэффициентами длительности и условий эксплуатации). Для балки 50×200 мм на пролёт 4 м с шагом 0,6 м получается f = 6,8 мм при предельном 24 мм — сечение проходит; от полной нагрузки прогиб был бы 13,3 мм — тоже проходит.

Почему нельзя брать модуль упругости древесины «как есть», 10 000 МПа?

СП 64.13330.2017 «Деревянные конструкции» (с изм. 1, 2) (прил. В.2, формула (8)) требует расчётный модуль E_II = E_ср × m_дл,E × m_в, где m_дл,E = 0,9 для перекрытий (режим В). Для сухого помещения это даёт E = 10 000 × 0,9 = 9 000 МПа — на 10% меньше «сырого» значения, и без этой поправки калькулятор занизил бы прогиб.

Что такое коэффициент длительной прочности m_дл и почему он обязателен?

СП 64.13330.2017 «Деревянные конструкции» (с изм. 1, 2) табл. 4 задаёт m_дл = 0,66 для перекрытий (нагрузка от людей) и кровель под снеговой нагрузкой — расчётное сопротивление древесины умножается на этот коэффициент. Без него формула даёт завышенное R (например, 19,5 МПа вместо 12,87 МПа для 2-го сорта) и калькулятор пропустит сечение, которое по нормам не проходит.

Балка 100×250 мм на пролёт 6 м — подходит?

По прочности — да, 13,2 МПа при допускаемых 13,86 МПа (сорт 1), почти на пределе. По жёсткости — тоже проходит, если считать по СП 20: от постоянных и длительных нагрузок прогиб 22 мм при предельных 30 мм (L/200). Если же взять полную нормативную нагрузку — в запас, как делают многие калькуляторы, — прогиб 36 мм больше предела, и калькулятор предложит следующее сечение 100×275 мм (27 мм).

Как рассчитать балку из стального двутавра?

Момент M = qL²/8, напряжение σ = M/W_x проверяется против R_y×γc (СП 16.13330.2017 «Стальные конструкции» (с изм. 1, 2)), прогиб f = 5q_nL⁴/(384EI_x) — против предельного из СП 20. Для двутавра №20 на пролёт 6 м при q = 6 кН/м получается σ = 146,7 МПа и f = 22,3 мм — оба условия выполняются.

Что делать, если двутавр не проходит по расчёту?

Взять следующий по сортаменту номер — жёсткость (прогиб) на средних и больших пролётах обычно лимитирует раньше прочности. Режим «подобрать автоматически» в калькуляторе перебирает весь сортамент №10–30 и показывает наименьший номер, который проходит оба условия.

Действует ли ещё ГОСТ 8239-89 на двутавры?

Формально нет — документ заменён в РФ с 30.11.2018, ему на смену пришли ГОСТ Р 57837-2017 и позже ГОСТ 35087-2024. Но геометрия профиля №10–30 «с уклоном граней», которую продолжают продавать, от статуса документа не зависит — калькулятор использует эти размеры как актуальный сортамент, подписывая источник.

Как влияет влажное помещение на расчёт балки?

Класс условий эксплуатации 3 и выше (влажность древесины от 15%) снижает коэффициент m_в с 1,0 до 0,9 (класс 3), 0,85 (класс 4а) или 0,75 (класс 4б) — это уменьшает и допускаемое напряжение R, и расчётный модуль упругости E, то есть балка одновременно теряет запас и по прочности, и по прогибу.

Что калькулятор не проверяет?

Устойчивость плоской формы изгиба — узкая высокая балка (h/b больше 4) без раскрепления сжатой кромки настилом может завалиться набок — и скалывание древесины у опор, где балка может расслоиться: обе проверки калькулятор не выполняет и прямо об этом предупреждает. Это прикидочный расчёт для оценки сечения, не проектный документ.

Откуда берётся предельный прогиб балки?

СП 20.13330.2016 «Нагрузки и воздействия», приложение Д, табл. Д.1, поз. 2а — для балок, перекрытий и настилов, открытых для обзора (эстетико-психологические требования): L/120 при пролёте 1 м, L/150 при 3 м, L/200 при 6 м, L/250 при 12 м и L/300 при 24 м (по примечанию 3 к таблице значения для помещений высотой до 6 м). Для промежуточных пролётов знаменатель интерполируется линейно (примечание 2), поэтому для 8 м предел не L/200, а L/217. Прогиб при этом считается от постоянных и длительных нагрузок, а не от полной.

Источники и допущения

Расчётная схема — балка на двух шарнирных опорах с равномерной нагрузкой, формулы пособия МГСУ (Туснин/Туснина). Расчётное сопротивление древесины R_A берётся по размерам сечения из табл. 3 СП 64: поз. 1а для досок и бруса уже 11 см, поз. 1б для бруса шириной 11–13 см и 1в — шире 13 см (на 7–15 % выше); выше 50 см — поз. 1а с коэффициентом m_б. Коэффициент длительной прочности m_дл = 0,66 (СП 64.13330.2017 табл. 4, режимы В и Г) и расчётный модуль упругости E_II = E_ср × m_дл,E × m_в (не «сырой» E = 10 000 МПа) обязательны — без них расчёт завышает прочность и занижает прогиб; для сечений выше 50 см учтён m_б по табл. 10. Прогиб по умолчанию считается от постоянных и длительных нагрузок (СП 20 табл. Д.1, длительная часть полезной нагрузки 0,35 по п. 8.2.3; для чердаков — полная), предельный прогиб — по узлам таблицы Д.1 с линейной интерполяцией. Двутавры даны по ГОСТ 8239-89 — документ в РФ формально заменён с 30.11.2018, но геометрия профиля, который продают, от статуса документа не зависит; вес двутавра добавляется к нагрузке автоматически, вес деревянной балки (около 0,05 кН/м для доски 50×200) не учитывается. Расчётное сопротивление стали взято по табл. В.3 СП 16 для большей толщины проката (для С245 — 235 МПа при 20–30 мм; при 2–20 мм было бы 240) — в запас. Типовые веса перекрытий в пресетах — практика, не норматив; собственный вес слоёв идёт с γf = 1,1. Модуль упругости дерева в СП дан только для сосны и ели — для других пород применяется то же значение, это допущение калькулятора. Устойчивость плоской формы изгиба и скалывание у опор не проверяются — калькулятор даёт только прикидочную оценку сечения, не проектный расчёт; для ответственных конструкций нужен инженер.

Полезно?

Комментарии

Написать

Нашли ошибку в расчёте, не хватает материала или режима, остался вопрос — напишите. Ответим и поправим калькулятор.